小墨の博客

排序的基本概念

排序：将杂乱无章的数据元素，通过一定的方法按关键字顺序排列的过程叫做排序。

稳定的：如果待排序的表中存在有多个关键字相同的元素，经过排序后这些具有相同关键字的元素之间的相对次序保持不变，则称这种排序方法是稳定的。

不稳定的：反之，若具有相同关键字的元素之间的相对次序发生变化，则称这种排序方法是不稳定的。

正/反序：待排序元素的关键字顺序正好是和排序顺序相同/相反。

稳定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面

不稳定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后a可能会出现在b的后面

内排序：所有排序操作都在内存中完成

外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行

分类

插入排序：直接插入排序、折半插入排序、希尔排序

交换排序：冒泡排序、快速排序

选择排序：简单选择排序、堆排序

归并排序

基数排序

通常可按平均时间将排序方法分为下面3类

非线性时间比较类排序：通过比较来决定元素间的相对次序，由于其时间复杂度不能突破O(nlogn)，因此称为非线性时间比较类排序。

线性时间非比较类排序：不通过比较来决定元素间的相对次序，它可以突破基于比较排序的时间下界，以线性时间运行，因此称为线性时间非比较类排序。

比较

没有哪一种排序方法是绝对好的。每一种排序方法都有其优缺点，适合于不同的环境，因此在实际应用中应根据具体情况做选择。首先考虑排序对稳定性的要求，若要求稳定，则只能在稳定方法中选取，否则可以在所有方法中选取；其次要考虑待排序元素个数n的大小，若n较大，则可在改进方法中选取，否则在简单方法中选取；然后再考虑其他因素。下面给出综合考虑了以上几个方面所得出的大致结论：

插入排序

思想：每次将一个待排序的元素按其关键字大小插入到前面已经排好序的子表中的适当位置，直到全部元素插入完成为止。

直接插入排序

基本思想：在要排序的一组数中，假定前n-1个数已经排好序，现在将第n个数插到前面的有序数列中，使得这n个数也是排好顺序的。如此反复循环，直到全部排好顺序。

算法描述：

从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；

取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；

如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；

重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；

将新元素插入到该位置后；

重复步骤2~5。

直接插入排序的算法如下：

例：设待排序的表有10个元素,其关键字分别为(9,8,7,6,5,4,3,2,1,0)，说明采用直接插入排序方法进行排序的过程。

图中用带阴影的部分表示当前的有序区，每趟都向有序区中插入一个元素，并保持其有序性。

折半插入排序

说明：和直接插入排序一样，折半插入排序每趟产生的有序区并不一定是全局有序区。

折半插入排序的算法如下：

希尔排序

基本思想：希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序，同时该算法是冲破O(n2）的第一批算法之一。它与插入排序的不同之处在于，它会优先比较距离较远的元素。

算法描述：

选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；

按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序；

每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。

说明：希尔排序每趟并不产生有序区，在最后一趟排序结束前，所有元素并不一定归位了，但是在希尔排序每趟完成后数据越来越接近有序。

例：设待排序的表有10个元素，其关键字分别为(9,8,7,6,5,4,3,2,1,0)，说明采用希尔排序方法进行排序的过程。

交换排序

冒泡排序

基本思想：两个数比较大小，较大的数下沉，较小的数冒起来。

算法描述：

比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；

对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；

针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；

重复步骤1~3，直到排序完成。

说明：冒泡排序每趟产生的有序区一定是全局有序区，也就是说每趟产生的有序区中的所有元素都归位了。

冒泡排序的算法如下：

例：设待排序的表有10个元素，其关键字分别为(9,8,7,6,5,4,3,2,1,0)，说明采用冒泡排序方法进行排序的过程。

每次从无序区中冒出一个最小关键字的元素并将其定位（图中用带阴影的部分表示当前的有序区）。

改进：

在有些情况下,在第i（i<n-1）趟时已排好序了，但仍执行后面几趟的比较。实际上，一旦算法中的某一趟比较时不出现任何元素交换，说明已排好序了，就可以结束本算法。为此，改进冒泡排序算法如下：

快速排序

基本思想（分治）：

通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

算法描述：快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述如下：

从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；

重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；

递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

说明：快速排序每趟仅将一个元素归位。

显然，快速排序是一个递归过程，其递归模型如下：

快速排序算法如下：

例：设待排序的表有10个元素，其关键字分别为(6,8,7,9,0,1,3,2,4,5)，说明采用快速排序方法进行排序的过程。

第1趟是以6为关键字将整个区间分为(5,4,2,3,0,1)和(9,7,8)两个子区间，并将6元素归位；对于每个子区间，又进行同样的排序，直到该子区间只有一个元素或不存在元素为止。

选择排序

简单选择排序

基本思想：选择排序(Selection-sort)是一种简单直观的排序算法。它的工作原理：首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

算法描述：（n个记录的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。）

初始状态：无序区为R[1..n]，有序区为空；

第i趟排序(i=1,2,3…n-1)开始时，当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R(i..n）。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1..i]和R[i+1..n)分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区；

n-1趟结束，数组有序化了。

说明：简单选择排序每趟产生的有序区一定是全局有序区，也就是说，每趟产生的有序区中所有元素都归位了。

简单选择排序的算法如下：

例：设待排序的表有10个元素，其关键字分别为(6,8,7,9,0,1,3,2,4,5)，说明采用简单选择排序方法进行排序的过程。

解：每趟选择出一个元素（图中用带阴影的部分表示当前的有序区）。

堆排序

基本思想：

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

算法描述：

将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；

由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

说明：堆排序每趟产生的有序区一定是全局有序区，也就是说每趟产生的有序区中的所有元素都归位了。

例：设待排序的表有10个元素，其关键字分别为(6,8,7,9,0,1,3,2,4,5)，说明采用堆排序方法进行排序的过程。

解其初始状态如图10.17(a)所示，依次从结点0、9、7、8、6调用sift算法，构建的初始堆如图10.17(b)所示。堆排序过程如图10.18所示，每归位一个元素（将其交换到有序区开头），就对堆进行一次筛选调整。

归并排序

基本思想：

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

算法描述：

把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；

对这两个子序列分别采用归并排序；

将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

说明：归并排序每趟产生的有序区只是局部有序的，也就是说在最后一趟排序结束前所有元素并不一定归位了。

上述二路归并排序实际上采用的是自底向上的过程，也可以采用自顶向下的递归过程，其算法如下，这里不再详细介绍。

例：设待排序的表有10个元素，其关键字分别为(6,8,7,9,0,1,3,2,4,5)，说明采用二路归并排序方法进行排序的过程。

基数排序

基本思想：

基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。

算法描述：

取得数组中的最大数，并取得位数；

arr为原始数组，从最低位开始取每个位组成radix数组；

对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）；

说明：基数排序每趟并不产生有序区，也就是说在最后一趟排序结束前所有元素并不一定归位了。

例：设待排序的表有10个元素，其关键字分别为(75,23,98,44,57,12,29,64,38,82)，说明采用基数排序方法进行排序的过程。

解：这里n=10，d=2，r=10，先按个位数进行排序，再按十位数进行排序。

计数排序（课本上无）

基本思想：

计数排序不是基于比较的排序算法，其核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。 作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。

算法描述：

找出待排序的数组中最大和最小的元素；

统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项；

对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）；

反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1。

桶排序（课本上无）

基本思想：

桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排）。

算法描述：

设置一个定量的数组当作空桶；

遍历输入数据，并且把数据一个一个放到对应的桶里去；

对每个不是空的桶进行排序；

从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来。

参考资料：

数字结构教程（第5版），李春葆，清华大学出版社

https://www.toutiao.com/a6593273307280179715  

https://github.com/hustcc/JS-Sorting-Algorithm

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41923298

https://www.eet-china.com/mp/a30050.html

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