小墨の博客

一、矩阵的秩

1、定义：矩阵的阶梯形中非零行的个数称为A的秩.

2、相关结论

（1）引理7  如果矩阵A与B是行等价的，则A与B的非零列的个数相等；如果矩阵A与C是列等价的，则A与C的非零行的个数相等.

（2）命题7  矩阵A的秩不大于A的非零行的个数，也不大于A的非零列的个数.

（3）引理8  如果矩阵A与B是行等价的，则

（4）引理9  如果对矩阵A作一次初等列变换得矩阵B，那么 

（5）定理2  如果矩阵A与B是等价的，则 

（6）定理3  矩阵A的秩为r的充分必要条件是A等价于如下形式的矩阵

          的(1,1),...,(r,r)元都为1，其余都为0.

（8）命题8  

（9）定理4  

         推论  如果m个矩阵  的乘积有意义，则 

（10）设A为n阶矩阵，如果 r(A)=n ,则A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积.

二、可逆矩阵

1、定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA= ,则称A是可逆矩阵，称B为A的逆矩阵。不是可逆的矩阵称为不可逆矩阵.

2、性质

（1）如果A是可逆矩阵，那么A的逆矩阵是唯一的。可逆矩阵A的逆矩阵记作.

（2）如果A是可逆的，则也是可逆的，并且.

（3）如果k为非零常数，A为可逆矩阵，那么也是可逆矩阵，并且 .

（4）如果A，B为同阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且 

（5）如果A是可逆的，那么也是可逆的，并且 

（6）初等矩阵是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵.(命题5)

（7）引理10  如果A是 n阶可逆矩阵，那么

         证明  设A是 n阶可逆矩阵.根据可逆矩阵的定义，存在n阶矩阵B使得AB=,于是

                  因此，r(A)=n.

（8）引理11  有限个初等矩阵的乘积是可逆矩阵.

（9）定理6  设A为n阶矩阵.下列论断彼此等价：

            ① A是可逆矩阵；

            ② 

            ③A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积.

      推论1  设A,B都是n阶矩阵。如果乘积AB是可逆的，则A与B都是可逆的.

      推论2  设A是n阶矩阵，并且线性方程组  有解， 的解唯一的充分必要条件是A为可逆矩阵.

                  当A可逆是，的唯一解为  .

      推论3  设A是n阶矩阵，齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件为A为不可逆矩阵.

      推论4  设A是矩阵，如果P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，那么

                  .

      推论5  矩阵A的秩为 r 的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得

3、逆矩阵的求法

      设A是n阶可逆矩阵，为 A的逆矩阵。将按列表示为;将n阶单位矩阵按列表示为. 因为  ,并且，所以对于所有的  ,都有;根据定理6的推论2， 是方程组 的唯一解.因为A是n阶可逆矩阵，所以根据定理6，。因此，A的简化阶梯形为,方程组 的增广矩阵的简化阶梯形为 于是矩阵的简化阶梯形为，即 的简化阶梯形为 。

三、分块矩阵

1、定义：以分块形式表示的矩阵称为分块矩阵.

2、定理7  如果A是m阶可逆矩阵，D是阶矩阵，那么下列3个等式成立：

                 ①

                 ②

                 ③

四、几类常见的特殊方阵

1、对称矩阵与反对称矩阵

（1）定义：设A是方阵，如果,则称A为对称矩阵；如果，则称A为反对称矩阵.

（2）命题9  如果A是方阵，则是对称矩阵，是反对称矩阵.

（3）命题10  如果A是方阵，则A可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

2、对角矩阵

（1）定义：设A是方阵，如果A的对角线以外的元素都为零，则称A为对角矩阵.

（2）对角元都相等的对角矩阵称为数量矩阵.

（3）命题11  对角矩阵的秩等于其非零对角元的个数。因此，对角矩阵  为可逆矩阵的充分必要条件是其对角元都不为零，当A可逆时，

3、准对角线矩阵

（1）定义：设A是方阵，如果对A的行和列作相同的划分，得到的分块矩阵中，对角线以外的块都为零，则称A为准对角线矩阵

         其中 都为方阵.

（2）命题12  准对角线矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其对角块都是可逆的.当A可逆时，

4、上三角矩阵与下三角矩阵

（1）定义：设A是方阵，如果A的对角线以下（上）的元素都为零，则称A为上（下）三角矩阵.

（2）命题13  上三角矩阵的转置为下三角矩阵

（3）定理8  上（下）三角矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是它的对角元都不为零.

                     可逆上（下）三角矩阵的矩阵仍然是上（下）三角矩阵.

（4）命题14  上（下）三角矩阵的秩不小于其非零对角元的个数

转自：https://blog.csdn.net/wys7541/article/details/81698355

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